ملاحظاتی در مورد حرکت پرتابی

مترجم: فرید احسانلو
منبع:راسخون
اس. کی. بوز
بخش فیزیک، دانشکدة علوم فیزیکی، دانشگاه گلف، گلف، آنتاریو کانادا
مسئله حرکت پرتابی طی چندین مقاله و یادداشت در AM J PHYS بررسی شده است (بوز 1983؛ لیکتن برگ، ویلز 1978؛ پالفی ـ ماهاری، بالزارینی 1982). برای یک پرتابة ایده‌آل (یعنی در نبود مقاومت هوا) وقتی سرعت‌های آغازی و پایانی بر هم عمود باشند، برد، بیشینه خواهد بود. طبیعی است دانشجویان سؤال کنند که چرا چنین است. ما در این یادداشت یک تعبیر هندسی این مطلب را برای کمک به درک ایشان، ارائه می‌کنیم. یادآوری می‌کنیم که نوک بردار VF در زیر امتداد قائم نوک بردار Vi قرار دارد، به طوری که شرط
=VF cos⁡φ OC=VI cos⁡θ
که نتیجة نبود هر گونه نیرویی در راستای افقی است، برقرار است. همچنین، معلوم است که
BC=VFsin⁡φ AC= VI sin⁡θ
حالا فرض کنید که T1 زمان لازم برای رسیدن پرتابه به بالاترین نقطة مسیر خود و T2 زمان سیر مسیر بعدی تا نقطة پایانی O باشد، در این صورت
GT 2=VF sin⁡φ و GT1=VI sin⁡θ
با مقایسة معادلات (3) و (2) می‌بینیم که طول‌های AC و BC به ترتیب با زمان‌های T1 و T2 متناسبند. طول AB نیز با زمان کل پرواز (T) متناسب‌ است. از آنجا که
T R=VI cos⁡θ
نتیجه می‌شود که برد با حاصل‌ضرب OC.AB متناسب است، که ثابت این تناسب برابر با عکس شتاب گرانشی است. به عبارت دیگر، برد با مساحت مثلث OAB که از بردارهای VI و VF تشکیل می‌شود متناسب است. چون برای یک سرعت اولیة معین VI و ارتفاع معین h، طول این بردارها ثابت می‌ماند، این مساحت که برابر است با
OAB 1/2.OA.OB. sin⁡L
هنگامی که AOB=90 باشد بیشینه، و وقتی AOB=0 یا 180 باشد (پرتاب قائم) کمینه (صفر) خواهد بود.
یادآوری می‌کنیم که تنها شرط لازم برای صحت این نتیجه آن است که حرکت تحت یک شتاب ثابت صورت بگیرد. دانشجویان باید توجه کنند که هرگاه شتاب حرکت ثابت باشد، تغییر مکان در راستای عمود بر بردار شتاب متناسب است با مساحت مثلثی که با بردارهای سرعت‌های آغازی و پایانی تعریف می‌شود، و ثابت این تناسب همان بزرگی شتاب است. این نتیجه با استفاده از ضرب‌برداری، به سهولت نشان داده می‌شود. برای حرکت با شتاب ثابت a،
(VF-VI)=at,
(VF+VI)/2=S/T,
که S تغییر مکان در زمان t است. از ضرب‌برداری معادلات (6) و (7) نتیجة زیر فوراً به دست می‌آید
VF× VI= a× S
بدین ترتیب، تغییر مکان عمود بر a، عبارت است از
|VF VI|/|a|
که تأییدی است برآنچه گفته شد. البته برای محاسبة برد و یافتن مقدار بیشینة آن، همان مطالبی که با معادلات (1) تا (5) ارائه شد کافی است و به نظر ما تا همین‌جا می‌تواند برای بعضی دانشجویان، بخصوص آن¬هایی که با مفهوم ضرب‌برداری ناآشنا یا نامأنوس هستند جالب‌تر باشد.